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摘要：我们...了一个计算机软件包来解决一个叫做“S单位方程”的问题，希望各行各业的数字理论家能够更容易地攻击数学中各种各样的未解决的问题。此外，数学家也被这些问题所吸引，现在称为丢番图方程。它们的魅力来自于它们令人惊讶的困难，以及揭示数学本质基本真理的能力。S单位是一个分数，其分子和分母仅由列表中的数字相乘而成。我们希望该软件能帮助数学家解决数论中的重要问题，增强他们对数学的本质、美和有效性的理解。
在数学中，没有一个研究人员是在真正的孤立中工作的。即使是那些独自工作的人也会利用他们的同事和前人的定理和 ... 来发展新思想。
，但是当一种已知的技术很难在实践中使用时，数学家可能会忽略一些重要的问题，或者可以解决的问题。
最近，我和几位数学家一起参与了一个项目，以使这种技术更易于使用。我们 ... 了一个计算机软件包来解决一个叫做“S单位方程”的问题，希望各行各业的数字理论家能够更容易地攻击数学中各种各样的未解决的问题。
丢番图方程在他的文章“算术”中，数学家丢番图研究了其解是必须是整数。碰巧，这些问题与数论和几何学都有很大关系，数学家们从那时起就一直在研究它们。
为什么只加上整数解的这个限制？有时候，理由是实际的；养13.7只羊或买-1.66辆车都没有意义。此外，数学家也被这些问题所吸引，现在称为丢番图方程。它们的魅力来自于它们令人惊讶的困难，以及揭示数学本质基本真理的能力。
事实上，数学家通常对任何特定丢番图问题的具体解决方案都不感兴趣。但当数学家发展新技术时，他们的能力可以通过解决以前未解决的丢番图方程来证明，
安德鲁·威尔斯对费马最后定理的证明就是一个著名的例子。皮埃尔·德·费尔马在1637年——在《算术》一书的空白处——声称已经解出了丢番图方程xⁿ+yⁿ=zⁿ，但没有提出任何理由。300多年后，当威尔斯证明了这一点时，数学家们立刻注意到了这一点。如果威尔斯提出了一个可以解决费马问题的新想法，那么这个想法还能做什么呢？数论者争先恐后地理解Wies的 ... ，推广它们，发现新的结果。KDSPE“KDSPs”没有一种 ... 可以解决所有丢番图方程。相反，数学家培养了各种各样的技巧，每一种都适合于某些类型的丢番图问题，而不是其他问题。因此，数学家将这些问题按其特征或复杂性分类，就像生物学家可能通过分类学对物种进行分类。“KDSPE”更精细的分类“KDSPs”这个分类产生专家，因为不同数量的理论家专门研究与不定问题的不同家族相关的技术，如椭圆曲线，二进制形式或Thue-Mahler方程。
在每个族中，更精细的分类得到定制。数学家发展出不变量——方程中出现的系数的某些组合——来区分同一族中的不同方程。为一个特定的方程计算这些不变量是很容易的。然而，与其他数学领域的更深层次的联系涉及到更为雄心勃勃的问题，例如：“是否有任何具有不变量13的椭圆曲线？”或者“有多少二进制形式具有不变量27？”
S单元方程可以用来解决许多更大的问题。S表示与特定问题相关的素数列表，如{2，3，7}。S单位是一个分数，其分子和分母仅由列表中的数字相乘而成。因此，在这种情况下，3/7和14/9是S单位，而6/5不是。
S单位方程的表述似乎很简单：找到加1的所有S单位对。找到一些解决方案，比如（3/7，4/7），可以用笔和纸来完成。但关键词是“全部”，这就是问题在理论和计算上都很难解决的原因。你怎么能确定每一个解决方案找到了吗？”
在原理上，数学家们已经知道如何求解S单位方程好几年了。然而，这个过程是如此的复杂，以至于没有人能够真正地用手解这个方程，而且很少有情况得到解决。这是令人沮丧的，因为许多有趣的问题已经被简化为“仅仅”解决一些特殊的S单位方程，
解算器的工作方式的情况正在改变。自2017年以来，包括我在内的北美六位数字理论家一直在为开源数学软件SageMath构建S单元方程求解器。3月3日，我们宣布工程竣工。为了说明它的应用，我们使用该软件求解几个不定常问题，“KdSPE”“KdSPS”是S单位方程的主要困难在于，当只有少数解存在时，存在无穷多的S单位，它可以是解的一部分。通过将著名的Alan Baker定理和Benne de Weger的精细算法技术相结合，求解器从考虑中消除了大多数S单元。即使在这一点上，可能还有几十亿个S单位——或者更多——需要检查；程序现在试图使最后的搜索尽可能有效。
这种S单位方程的 ... 已经有20多年的历史了，但只被少量使用，因为所涉及的计算是复杂和耗时的。以前，如果数学家遇到了她想解的S单位方程，就没有自动的 ... 来解它。她必须仔细地完成贝克、德韦格和其他人的工作，然后编写自己的计算机程序来进行计算。运行该程序可能需要数小时、数天甚至数周的时间来完成计算。
我们希望该软件能帮助数学家解决数论中的重要问题，增强他们对数学的本质、美和有效性的理解。
克里斯托弗·拉斯穆森，卫斯理大学数学副教授
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