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摘要：）你可以决定形式n／2的简化分数可以近似任何无理数，其真值在1/10以内，近似为1/10的“误差”。如果这是真的，并且可以使用无穷多个分母来近似一个数在相应的误差内，那么通过增加分母，可以更好地逼近。Duffin和谢弗法则是根据误差的大小来度量的。“KdSPE”“KdSPS”如果选择的误差足够小，则随机抽取的无理数X将只有有限数量的好的近似值：它可能落入特定分母近似的间隙。
大多数人很少处理无理数，好吧，这是无理的，因为它们永远在运行，准确地表示它们需要无限的空间。但是在科学和工程中经常出现一些不合理的常数，如π和√2-数，它们不能被简化为一个简单的分数。这些笨拙的数字困扰着古希腊人以来的数学家；事实上，传说中希帕索斯因暗示存在非理性而被淹死。然而，80年来人们对如何逼近的困惑已经得到了解决，许多人把非理性数字概念化为小数或小数：估计3.14等于157/50，导致3月14日广泛庆祝圆周率日。然而，另一种近似，22/7，更容易争论，更接近于π。这就引出了一个问题：这些近似值的精确性究竟有多大？我们可以选择任何形式的分数吗？”1941年物理学家理查德杜芬和数学家阿尔伯特谢弗提出了一个简单的规则来回答这些问题。考虑一个近似各种无理数的探索。首先，决定一个特定分母分数的近似值有多接近。（记住，“分子”指的是分数的顶部，“分母”指的是底部。这里，所有的分数都被完全简化了，例如，2/4并不是计数为分母4，因为它简化为1/2。）你可以决定形式n／2的简化分数可以近似任何无理数，其真值在1/10以内，近似为1/10的“误差”。分数看起来像N／10，在分母上比分母2更接近，所以你可以把这种情况下的误差限制在只有1/100，这些分数可以近似于1／第一百以内的任何东西。如果这是真的，并且可以使用无穷多个分母来近似一个数在相应的误差内，那么通过增加分母，可以更好地逼近。Duffin和谢弗法则是根据误差的大小来度量的。“KdSPE”“KdSPS”如果选择的误差足够小，则随机抽取的无理数X将只有有限数量的好的近似值：它可能落入特定分母近似的间隙。但是，如果误差足够大，就会有无穷多个极小值，从而产生一个很好的近似分数。在这种情况下，如果误差随着分母变大而缩小，那么你可以选择一个精确的近似值。“kdSPE”“kdSPs”“kdSPE”未经证实的“kdsPS”的结果是，你几乎可以任意地近似每一个数，或者几乎没有一个。蒙特利尔大学的数学家Dimitris Koukoulopoulos说：“这是一个惊人的两分法。此外，你可以选择错误，但你想要的，只要他们是足够大的聚合，大多数数字可以近似无穷多的方式。这意味着，通过选择一些错误为零，你可以将近似限制到特定类型的分数，例如，那些只有10的幂函数的子表达式，达芬和谢弗无法证明他们的猜想，其他人也无法证明。奥地利格拉茨理工大学（Graz University of Technology）研究过这一问题的数学家克里斯托夫•艾斯特利特纳（Christoph Aistleitner）表示，这一证明在数论中仍然是“一个具有里程碑意义的开放性问题”。也就是说，直到今年夏天，Koukoulopoulos和他的合著者James Maynard在一篇发布到预印本服务器arX的论文中宣布了他们的解决方案牛津大学（University of Oxford）教授梅纳德（Maynard）说：
“杜芬-谢弗（Duffin-Schaeffer）猜想在数学领域有着神奇的简单性，这通常是异常困难和复杂的。”。他偶然发现了这个问题，他是一个数字理论家，但与大多数杜芬·谢弗专家不在同一领域。（他通常研究素数——那些只能被它们自己和1整除的素数。）约克大学的一位教授建议梅纳德在那里发表演讲后解决杜芬-谢弗猜想。梅纳德说：“我认为，他有一种直觉，认为让某人稍微离开这个直接领域可能是有益的。”。结果证明，这种直觉是正确的，尽管几年内都不会有结果。在那次最初的谈话之后很久，梅纳德就怀疑他的同事有相关的专业知识，建议与库库洛普洛斯合作。
梅纳德和库库洛普洛斯知道，以前在这个领域的工作已经把这个问题简化为关于分母的素因子之一，即素数，当相乘时，产生分母。梅纳德建议把这个问题看作是数字的阴影：“想象一下，在数列上，所有接近分母为100的分数的数字都着色。”杜芬-谢弗猜想说，如果误差足够大，每个可能的分母都会这样做，几乎每一个数字都会被无限多次地着色。
对于任何特定的分母，只有部分数字行会被着色。如果数学家能够证明，对于每个分母，有足够多的不同区域被着色，他们将确保几乎每个数字都被着色。如果他们也能证明这些部分是重叠的，他们就可以得出这样的结论：这种情况发生过很多次。捕捉不同但重叠区域这一概念的一种 ... 是证明由不同分母着色的区域彼此无关它们是独立的。
，但这实际上不是真的，特别是如果两个分母共享许多素数因子。例如，可能的分母10和100共享因子2和5，并且可以由形式n / 10的分数所近似的数字表现出与分数可近似于n／100的令人沮丧的重叠。“KdSPE”图形化问题“KdSPS”梅纳德和Koukoulopoulos通过在网络上重新考虑问题来解决这个难题。数学家称之为图——一堆点，有些点由线连接（称为边）。他们的图中的点代表了研究者希望用于近似分数的可能分母，如果两个点有许多共同的素因子，则它们被边缘连接起来。在允许分母有不需要的依赖关系的情况下，图有很多边，使用图的
允许两位数学家以新的方式可视化问题。梅纳德说：“你需要的一个最大的洞察是忘记问题的所有不重要的部分，并且只关注一两个使问题变得非常特别的因素。”。他说，使用图，“不仅可以证明结果，而且还可以告诉你问题的结构。”梅纳德和库库洛普洛斯推断，有许多边的图对应于一个特定的，他们可以分别分析的高度结构化的数学情况。
这两个组合的解决方案令许多业内人士感到意外。艾斯特利特纳说：“普遍的感觉是，这个问题还没有解决。”。德克萨斯大学奥斯汀分校的退休教授杰弗里·瓦勒说：“使用（图形）的技术在未来可能会被视为和实际的杜芬·谢弗猜想同样重要——也许比实际的杜芬·谢弗猜想更重要，他在1978年证明了这一猜想的一个特例。
可能需要其他专家几个月才能了解全部细节。“现在的证据是一个漫长而复杂的证据，”艾斯特利特纳说。“
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