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摘要：如果，我们穿越到公元前4世纪至3世纪，秦始皇和亚历山大大帝想要了解自己建立的帝国面积有多大时，我们该怎么回答？在没有卫星、飞机和遥感技术的情况下，如此广袤的土地，我们的祖先是如何测量的？今天，我们就来讲一讲古代地图里隐藏的数学知识。中国地形图欧亚大陆最初的五大文明，除了古希腊文明，均诞生于大河附近，即埃及的尼罗河、两河流域的幼发拉底河和底格里斯河、中国的黄河和长江、印度的印度河和恒河。
公元前3世纪，秦始皇统一天下，建立了幅员辽阔的秦朝，公元前4世纪，亚历山大大帝建立亚历山大帝国。如果，我们穿越到公元前4世纪至3世纪，秦始皇和亚历山大大帝想要了解自己建立的帝国面积有多大时，我们该怎么回答？在没有卫星、飞机和遥感技术的情况下，如此广袤的土地，我们的祖先是如何测量的？今天，我们就来讲一讲古代地图里隐藏的数学知识。 中国地形图 欧亚大陆最初的五大文明，除了古希腊文明，均诞生于大河附近，即埃及的尼罗河、两河流域的幼发拉底河和底格里斯河、中国的黄河和长江、印度的印度河和恒河。这些河流会定期泛滥，洪水肆虐之后，耕地与耕地之间的界限已经分不清楚了，重新划界，必须首先要知道自己家的田亩面积有多少，于是，最早的测绘技术就诞生了。 第一：乘法的意义 我们都知道加法和减法的实际意义，3个苹果和5个苹果放在一起就是8个苹果，3＋5＝8。那么，如何向人类的小孩解释3×5＝15的实际意义呢？3乘以5为什么就等于15呢？ 农业生产需要测量土地的面积 人类通过数数，认识了加减法的实际意义，通过测量土地，认识了乘法的实际意义。中国古代的数学专著《九章算术》是人类历史上著名的数学专著之一，成书于西汉时期，但是，里面的很多内容，最早可追溯至上古时期，《九章算术》一共有「 ”九章”，分为「 ”方田”、「 ”粟米”、「 ”衰分”、「 ”少广”、「 ”商功”、「 ”均输”、「 ”盈不足”、「 ”方程”和「 ”勾股”。其中的「 ”方田”和「 ”少广”有很多内容是关于面积计算的，所记载的一些数学题目，在今天的人看来是十分简单的。 《九章算术》里的第一道题是： 今有田广十五步，从十六步。问：为田几何？答曰：一亩。 一亩就是广十五步，从十六步组成的一个平面 第二道题是： 又有田广十二步，从十四步。问：为田几何？答曰：一百六十八步。 这两个问题都非常的简单，但是在古代则是非常重要的数学定义，第一道题其实是定义了「 ”亩”的概念，一亩就是长十五步，宽十六步的一个平面，用今天的数学语言来表达，1亩就是240平方步。第二题实际上是定义了乘法的意义，12乘以14，就表示长度为12，宽度为14的一个平面，这个平面是168。 中国古代表示面积，没有「 ”平方步”、「 ”平方尺”的说法，而是用「 ”亩”、「 ”顷”来表示土地的面积，田广十五步，从十六步即为一亩，百亩为一倾。 那么，5×3＝15的实际意义就是，一个长为5，宽为3的矩形的面积。何谓一平方米？就是边长为1米的一个平面。为什么5×3＝15呢？如果我们用一个方格表示1平方米，那么，15个平方米，就是15个方格的排列，一共有3行，每行5个，所以，5×3＝15。 因此，乘法并不是凭空而来的，两个数相乘所得到的另外一个数，就是这两个数围成的一个平面。 第二：古代的测绘工具 古代最简单的测绘工具就是圆规和直尺，我们所说的「 ”规矩”一词，就是指圆规和直尺，孟子说：「 ”不以规矩，不能成方圆”。画圆要用圆规，画正方形要用直尺。 对于绘制在平面上的图形，可以用尺子测量长度和宽度，并得到面积。那么，对于田亩应该怎么测量呢？世界上没有那么大的尺子可以用，怎么办呢？测量土地的长度和宽度，用的是绳子和步数。 绳子可以拉得很长很长，但是怎么知道绳子有多长呢？在绳子上打结以表示刻度，横向的拉一次绳，再纵向的拉一次绳，这块土地的面积就测出来了。 小范围内的土地，可以通过绳索测量 田亩的面积可以用绳子测量出来，那么，一个村庄、一座城池的面积，如何测量呢？总不能 ... 一根长度为30公里的绳子吧。测量城池的面积，用的是步数。人们用走路的方式，丈量大地的面积，正如荀子所说的那样，「 ”不积跬步无以至千里”。 古人测量版图的面积，其实就是靠走路，秦始皇和亚历山大大帝想要知道帝国有多大，只能派人去走路。人类走路，每一步的长度都不是很均匀，但是，只要不跑步，坚持走几十公里、上百公里，平均下来，其实每一步的长度都是很均匀的，刚开始走，不均匀，走多了，就均匀了，人类很早就发现了这个规律，所以，人类才能用走路的方式来测量大地。古人用走路的方式测量的面积，与今天人们利用遥感技术、卫星测量的土地面积，误差不是很大。 人类的步伐不是很均匀，骆驼走路则是慢慢悠悠的，非常均匀，所以，古希腊人曾经通过数骆驼的步数测量了地球的周长，测量地球的周长，带着骆驼绕地球一圈，进行环球旅行，在当时是几乎不可能的。古希腊人知道地球是圆的，通过观察太阳光线的倾斜角度，其实就可以估算出地球的周长，古希腊学者埃拉托斯特尼，找来了皇家测量员，想要通过测量塞因市（今埃及的阿斯旺市）与亚历山大港之间的太阳光线的倾斜角度的差异来估算地球的周长，皇家测量员带着骆驼在这两个城市之间走了一圈，通过数骆驼的步数，测得了两城之间的距离是5000个场（1场约为157.5米），两个城市之间的距离是地球周长的五十分之一，那么，这样一来，地球的周长就是25万个场，折合成现在的公里，就是39375公里，我们的地球实际的赤道周长是40076公里，与数骆驼的步数，测量出来的结果，误差只有701公里。 地球的实际周长是40076公里 由于文献的散佚，我们已经很难知道秦始皇到底派了多少人去测量秦朝的版图面积，也不知道他派的是谁或者究竟有没有派人去测量。然而，西方的文献则留下了亚历山大大帝是如何测量亚历山大帝国的面积的，亚历山大大帝每征服一个地方，就有大批的「 ”皇家测量员”跟随，这些「 ”皇家测量员”就是通过走路的方式测量每一座城市与每一座城市之间的距离的，并最终测出了亚历山大帝国的面积，误差仅为5%。 第三：圆形和三角形的面积如何计算？ 亚历山大帝国的版图不是一个规则的矩形，从最南边走到最北边，再从最东边走到最西边，两个数相乘，并不是亚历山大帝国的版图面积，而是一个近似值，而且是一个与实际面积相差很大的近似值。 那么，不规则的图形，如何计算面积呢？今天的我们学了数学之后，很容易知道，圆形的面积是圆周率乘以半径的平方，圆周率是固定的，测量出圆形的直径，就可以得到圆形的面积。三角形的面积是底乘以高再除以二。但如果我们不知道面积公式，如何计算三角形和圆形的面积呢？ 三角形和圆形的面积公式，从根本上说是基于矩形的。三角形的面积公式为什么是底乘以高再除以二呢？相同的三角形复制一个过来，与原来的三角形拼接在一起，肯定能得到一个平行四边形，两个相同的直角三角形可以组成一个矩形。本质上来讲，三角形就是矩形的一半，所以三角形的面积是底乘以高再除以二。 其他一切不规则的图形，都是基于三角形和矩形的切切补补的结果，面积公式不是人为定义的公式，而是人们在测量土地面积的过程中，用切切补补的方式发现的。 不规则的土地，可以通过切切补补的方式计算 一个圆形也可以将其切割为若干个等份的三角形，然后将这些三角形拼接起来，就会组成近似平行四边形的图形，平行四边形的底边就是圆的周长的一半，高就是圆的半径。 第四：圆周率是什么？ 圆周率是人为定义的，圆的周长除以直径就是圆周率，圆的周长就是圆周率乘以直径，那么这样一来，已知半径，就可以求得圆的面积，圆的面积公式就是圆周率乘以直径除以二再乘以直径的一半，简单概括，圆的面积就是圆周率乘以半径的平方。 《九章算术》有一道题：「 ”又有圆田，周一百八十一步，径六十步三分步之一。问：为田几何？答曰：十一亩九十步十二分步之一。” 为了解这道题，中国古代的数学家花了上千年的时间来研究圆周率，人们将圆周率定义为周长除以直径的值，但这只是理论上的定义，实际生活中，是需要测量的，测量往往有误差，画一个直径为1米的圆，无论怎么测量，也测不到周长的准确值，而只是近似于3.14米。那么，如何得到准确的周长呢？这就涉及到了圆周率的估算。 若干个等份的三角形可以组成平行四边形，但这个平行四边形不是真正的平行四边形，而是近似平行四边形，它的边长有弧度，切割的三角形越多，就越能将这个弧线拉直，但永远不能拉直，三角形的数量越多，得出的圆周率就越精确，所以，人们是通过对圆的切割，来推导圆周率的值的，并进而认识了微积分，有了极限的思想，从而开启了高等数学的大门。 从太空看地球，地球是球体，但每一块土地实际上都是方方正正的 正多边形的边长越多，越接近圆，正12面体比正20面体，更接近于球形。我们的地球是个球体，但是，我们在实际生活中计算土地面积，根本就不需要考虑地表曲率，因为地球太大了，缩小到一亩地的范围，就是一个方方正正的平面，这就是极限思想。地图上犬牙交错、曲折曲折的线路，落实到实际的土地上，就变成了一个又一个的直线了，越精确，越接近于直线。 第五：计里画方 前文已经说了，一切不规则的图形，都是基于矩形的面积，用切切补补的方式可以计算出来，正多边形的边长越多，越接近圆，正12面体比正20面体，更接近于球形。 那么，同样，不管什么形状的图形的面积，都是由若干个边长为1的等份小方格组成的。 幅员辽阔的版图，形状是不规则的，为了测量版图的面积，中国古代的学者想出了一个妙计，那就是「 ”计里画方”。 计里画方绘制的地图 把地图绘制在方格上，数一数小方格的数量就可以得出这张地图的面积了。 中国见于文字记载的最早的地图集是西晋时期的裴秀绘制的《禹贡地域图》十八篇，西晋以前的地图集都散佚了，只有部分地图被带入墓葬中而重新被考古学家发现，如甘肃天水出土的战国时期的《放马滩地图》、长沙马王堆汉墓出土的《驻军图》。《禹贡地域图》十八篇之地图集，实际上也已经散佚了，只留下了序文，所以，研究中国古代的地图一般缺乏实物证据，也就无法知道秦始皇测量土地面积的相关细节。不过，我们仍然可以从《禹贡地域图》十八篇之序文中得到相关的历史信息。 裴秀在序文中提出了「 ”制图六体”，即「 ”分率”、「 ”准望”、「 ”道里”、「 ”高下”、「 ”方邪”、「 ”迂直”。其中的「 ”分率”表示比例尺，「 ”迂直”是指实地距离与平面距离的折算。 有了比例尺、实地距离与平面距离的折算，人们就可以通过地图上的面积推算出实际的土地面积。 裴秀绘制《禹贡地域图》十八篇时，当时天下的地图，比例尺一般为1比1800000。按照比例尺，可以推算出这些地图上的实际的土地面积。而裴秀绘制的地图，则是以「 ”以二寸为千里”，地图上的二寸，就代表一千里。 与此同时，裴秀还提出了「 ”计里画方”的制图法，计里画方就是以方格为网络绘制地图，地图上一般标有「 ”每方折地百里”、「 ”方括十里”的说法，这就是比例尺，「 ”每方折地百里”就是每一个方格的边长代表一百里。 现存最早的用「 ”计里画方”的 ... 绘制的地图，是南宋时期的《禹迹图》，此图刻于南宋绍兴六年，《禹迹图》上的水平方格为70格，垂直方格是73格，共计5110个方格，「 ”每方折地百里”，古代的1里等于现在的2公里，每方折地百里，就是每方折地50公里，5110个方格，即是1277.5万平方公里。因此，《禹迹图》所涵盖的总面积约为1278万平方公里。 《禹迹图》刻在石头上，此为拓本 古人想要知道地图上的土地面积，直接数小方格就可以了，整个地图有多少个小方格，就代表天下有多大。当然，《禹迹图》里的天下，指的是「 ”九州”的范围，而不是南宋政权的疆域图，实际上当时的南宋是个偏安政权，中国还有西夏、金、大理等政权。 古人想要知道一座城池有多大，首先要绘制地图，把实际的地理要素，一点点绘制在地图上。绘制地图，要实测距离，地图上的城池，界限虽然是犬牙交错，曲曲折折的，但是，落实到实际所代表的每一块土地，则是标准的直线，这和计算圆的面积是一样的，将圆分成无数个等份的三角形，三角形的数量越多，圆的弧线越接近直线，这就是数学当中的极限思想和微积分的概念。古代行军打仗，首先要看地图，有了地图就知道实际的地理要素了，知道每座城池的大小了。秦始皇统一六国之后，实际上也不需要重新测量秦朝的土地面积，只要把每个地方的地图收集起来，就可以计算出秦朝有多大了，把秦朝的每一个郡县的面积相加，就是秦朝的面积。当然，任何的测量，都是有误差的，所以，历朝历代都需要重新绘制地图，重新测量，数据的误差也越来越小。 清朝人绘制的地图 计里画方的制图 ... ，一直延续到清代，中国古代的「 ”计里画方”是不考虑地表曲率的，忽略了地球作为一个球体的实际情况，明清时期，地图投影法和经纬制图法传入到中国，中国人开始在地图上加入经纬线，康熙皇帝曾经命令西方传教士按照经纬制图法绘制了《皇舆全览图》，对全国的各个地方进行了实测，后来，乾隆年间绘制的地图，则更加全面和准确，实测的范围更大、更广、更细致。 数学源于生活，「 ”万物皆数”，因为测量土地面积的需要，而诞生了几何学，几何是数学最重要的分支，数与形相互发展，为了计算圆的面积，而产生了数学中的极限思想，并诱导了微积分的产生。如果我们在历史的情境中学习数学，会发现数学是一门非常有意思的学科，而不是充满了各种定理、公式的枯燥无味的学科。
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