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古今数学解密:引发数学界震荡的丢番图《算术》

1621年巴黎出版的译本,引发了困扰数学界近300年的费马的著名边注「 ”费马大定理”费马曾在第11卷第8命题旁写道:「 ”将一个立方数分成两个立方数之和,或一个四次幂分成两个四次幂之和,或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和,这是不可能的。关于此,我确信已发现了一种美妙的证法 ,可惜这里空白的地方太小,写不下。”这正是费马在读丢番图《算术》时引发的数学界震荡。 公元1世界至6世纪,是希腊数学史山所谓的「 ”亚历山大后期”这一时期最重要的发展,是突破以前以几何为中心的传统,使得算术与代数成为独立的学科,这方面最有代表性的数学家无疑是丢番图。关于丢发图的生平我们知致甚少,据几种史料可推断他大约公元250年前后活动于亚历山大城,丢番图主要著作《算术》,创用了一套缩写记号,被视为代数符号之滥觞。《算术》尤以不定方程问题的求解而著称,以致今日数论与代数中将只求整数解的整系数不定方程称为「 ”丢番图方程”。17世纪费马等人的数论研究,都受到丢番图《算术》的影响。 《算术》是一本问题集,解题 ... 巧妙多样。该书丢番图自序称全书共13卷,但1464年发现的希腊文本仅存6卷,1973年在伊朗境内又发现4卷 ... 文手抄本。专家鉴定应属于原著的4,5,6,7卷(含有101个问题),而先前的希腊文本则为第1,2,3,8,9,10(含有189个问题)。 以下选自《算术》中的部分问题。 Ⅱ卷8题: 将一个已知的平方数分为两个平方数 设将16分为两个平方数。 令第一个平方数等于x^2,则另一个平方数为16-x^2, 取一个正方形,形如(mx-4)^2,其中m是任意整数,4是16的平方根,不妨设其边为2x-4,正方形本身为4x^2+16-16x,因此应有4x^2+16-16x=16-x^2,可得5x=16x^2,则x=16/5 所以所求两个数,一个是256/25,一个是144/25, 两者之和就是16,且每一个都是平方数。 Ⅳ卷3题: 求两个平方数,使其和是一个立方数 设较小的平方数是x^2,较大的平方数是4x^2,二者之和为5x^2,它必须等于一个立方数,令该立方数的立方根是x的任一倍数,不妨就设为x,则此立方数为x^3,所以x^3=5x^2。可得x=5,所以较小的平方数是25,较大的平方数是100,二者之和是125,125正好是5的立方数。 Ⅳ卷9题 求两个立方数,它们构成一个平方数 这个问题留给读者自己解答,会发现丢番图《算术》非常有趣,可作为数学爱好者的读本,这也直接导致现代代数学和数论的诞生。

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